Les Vecteurs – 3ème

Notion de vecteur

📐 Définition

Vecteur Un vecteur est défini par trois caractéristiques : une direction, un sens et une norme (longueur). On le note \(\overrightarrow{AB}\), où \(A\) est l'origine et \(B\) l'extrémité.

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme — quelle que soit leur position dans le plan.

Caractéristiques d'un vecteur

📏 La norme

La norme de \(\overrightarrow{AB}\) est notée \(\|\overrightarrow{AB}\|\). Elle est égale à la longueur \(AB\).

Norme\(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\)

🧭 Direction & sens

La direction est la droite \((AB)\). Le sens indique l'orientation de \(A\) vers \(B\).

Vecteurs égaux & translation

⚖️ Vecteurs égaux

Même direction (droites parallèles ou confondues)
Même sens (flèche orientée de la même façon)
Même norme : \(\|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{CD}\|\)
On écrit alors : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)
Équivalence : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC\) est un parallélogramme

Relation de Chasles

➕ Addition de vecteurs

Relation de Chasles Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) :

Chasles\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)

On peut enchaîner plusieurs points : \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\)

Vecteur opposé & scalaire

🔄 Vecteur opposé

Le vecteur opposé de \(\overrightarrow{AB}\) est \(-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\) : même direction, sens contraire, même norme.

Opposé\(-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\)

✖️ Multiplication par \(k\)

Même direction que \(\vec{u}\)
Même sens si \(k>0\), opposé si \(k<0\)
\(\|k\vec{u}\| = |k|\cdot\|\vec{u}\|\)

Scalaire\(k\overrightarrow{AB} \Rightarrow \text{norme} = |k|\cdot AB\)

Coordonnées d'un vecteur

🗺️ Dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath})\)

Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors :

Coords\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A\end{pmatrix}\)

Norme\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

🔢 Opérations avec les coordonnées

Si \(\vec{u}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}c \\ d\end{pmatrix}\) :

Addition\(\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix}a+c \\ b+d\end{pmatrix}\)

Scalaire\(k\vec{u} = \begin{pmatrix}ka \\ kb\end{pmatrix}\)

★

Exercice d'application

Coordonnées, norme et relation de Chasles

Dans un repère orthonormé : \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,6)\), \(C(-1\,;\,3)\).

Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

Calculer \(\|\overrightarrow{AB}\|\) et \(\|\overrightarrow{AC}\|\).

Calculer \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) à l'aide des coordonnées.

Vérifier par Chasles que \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).

📋 Voir la correction

1. \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) · \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\)

2. \(\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{9+16}=5\) · \(\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\)

3. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\)

4. \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}3-5\\4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}=\overrightarrow{AC}\) ✓

À retenir

Résumé essentiel

\(\overrightarrow{AB}\) possède une direction, un sens et une norme \(\|\overrightarrow{AB}\|\).
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) ⟺ même direction, même sens, même norme.
Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
Vecteur opposé : \(-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\)
Coordonnées : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}\)
Norme : \(\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

fin de la capsule

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